専門分野

整数解、Baker理論、指数型不定方程式、整数点・有理点、Mordell-Weil rank、楕円曲線

研究概要

　研究分野は整数論, 特に不定方程式論である. 整数係数の代数方程式の整数解や有理数解を求めることを, 不定方程式またはディオファンタス方程式を解くという. 不定方程式や素数分布を主に研究する分野である整数論は, 数学の中では幾何学と同様古代ギリシャ時代以来の長い歴史を持つ. 私は「方程式の解の不思議」に興味を持っている.特に, ピタゴラスの定理の類似・拡張・一般化に関心があり, ピタゴラス方程式 a^2+b^2=c^2 の高次元版・指数型である, 不定方程式　x^2+dy^2=z^n　(n ≧ 3), a^x+b^y=c^z の正の整数解 x,y,z について研究している. 指数型不定方程式の分野ではピタゴラス数に関するジェスマノビッチ予想が未解決問題の一つとして有名であるが, これを一般化した予想を1994年に提起し, この予想が多くの場合に正しいことを確かめた. この予想も未解決であり, 不定方程式の分野では「Terai's conjecture(寺井予想)」として知られている.

　また, 最近は, 3次の曲線である楕円曲線の整数点, 階数, 生成元を研究している. 楕円曲線は, 解析学・代数学・幾何学・整数論が交錯する数学の中でも最も深く美しい対象の一つである. 情報科学の分野でも, 楕円曲線は公開鍵暗号の代表的例である「楕円曲線暗号」として応用され, 情報セキュリティの授業で学生にRSA暗号や楕円曲線暗号が日常生活においていかに役立っているか教えている.

研究テーマ及び得意とする技術

1.  Ramanujan-Nagell型の不定方程式の整数解の研究

2.  Baker理論の指数型不定方程式への応用

3.  数論計算ソフトMAGMAによる不定方程式の解の数値実験と予想

4.  楕円曲線の整数点・階数の研究

産学連携の実績及び研究提案

特になし。

キーワード

整数解、Baker理論、指数型不定方程式、整数点・有理点、Mordell-Weil rank、楕円曲線